Question

设函数 已知 在区间 上单调递减，求 的取值范围;求 的最大值及此时 的值

Answer 1

由题意,函数在上单调递减且满足,,可求出函数的导数,将函数在上单调递减转化为导数在上的函数值恒小于等于,再结合,这两个方程即可求得取值范围;由题设条件,先给出的解析式,求出导函数,,由于参数的影响,函数在上的单调性不同,结合的结论及可得.当时;当时;当时,分三类对函数的单调性进行讨论,确定并求出函数的最值 解:由,得,,则,,由题意函数在上单调递减可得对于任意的,都有当时,因为二次函数图象开口向上,而,所以只需要,即,故有;当时,对于任意的,都有,函数符合条件;当时,对于任意的,都有,函数符合条件;当时,因函数不符合条件;综上知,的取值范围是因为,,当时,,在上的最小值是,最大值是当时,对于任意有,则有在上的最小值是,最大值是;当时,由得,若,即时,在上是增函数,所以在上最大值是,最小值是;若,即时,在取得最大值,在或时取到最小值,而,,则令可得;令可得综上,当时,在取到最小值,当时,在取到最小值 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值,利用导数研究函数的单调性,此类题解题步骤一般是求导,研究单调性,确定最值,求最值,第一掌上明珠解题的关键是把函数在闭区间上递减转化为函数的导数在此区间上小于等于恒成立,将单调递减的问题转化为不等式恒成立是此类题常用的转化思路,第二小题求含有参数的函数在某个区间上的最值,解题的关键是分类讨论确定出函数的最值,本题考查了转化的思想,推理判断的能力,计算量大,难度较大,极易因为判断不准转化出错或计算出错,常作为高考的压轴题.