Question

秩为1的矩阵一定和对角矩阵相似吗

请简要说明理由，非常感谢！~
1.首先问题中不应该为矩阵，而是“方阵”。
2.方阵规模大于2*2。
3.a11≠0。
4.这是我的想法：对于r=1的方阵而言，特征值为a11，和（n-1）个0。对于这（n-1）个特征值0而言，r（0E-A）=1=n-ni；ni=n-1（即为n-1重根）==>说明n-1重根有n-1个线性无关的特征向量==>该方阵与对角矩阵相似。请问大家，我的想法有没有错？错在哪里？

Answer 1

不是的。二阶矩阵{1,1；0,0}，这个矩阵特征值是1和0，因此秩是1.但是他不与对角阵相似（根据矩阵上三角化理论，他只与上三角矩阵也就是他本身相似）。

矩阵要与对角阵相似，首先要满足矩阵是对称矩阵。如果你那个加上对称矩阵的条件，就对了。秩是1，说明n个特征值一个是1，其余都是0。可以相似对角化。

追问

“矩阵要与对角阵相似，首先要满足矩阵是对称矩阵”
这是什么理论？
矩阵要与对角阵相似，充要条件是有n个线性无关的特征向量吧。

Answer 2

简单分析一下即可，答案如图所示

Answer 3

对不住啊，想都没想就搞了两个矩阵，错的
…………0.0

追问

没关系，还是谢谢你