Question

一道几何题。

如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC是直角，D是AC上的一个点，AE⊥BD，AE的延长线交BC与F，若∠ADB＝∠FDC 求证 D是AC的中点。

Answer 1

如图,作CG垂直于AC,交AF的延长线于点G

在三角形ABD中,由于AE⊥BD

所以∠ABD=∠DAE,

并且∠EAB=∠BDA

在三角形ABD与三角形CAG中

∠BAC=∠ACG=90度

∠ABD=∠DAE

AB=AC

所以三角形ABD与三角形CAG全等

所以∠ADB=∠G

并且AD=CG

因为∠ADB=∠FDC

并且∠EAB=∠BDA 

所以∠EAB=∠FDC

在三角形ABF与三角形CDF中

∠FBA=∠FCD=45度

∠FAB=∠FDC

所以三角形ABF与三角形CDF相似

所以∠AFB=∠1

因为∠AFB=∠2

所以∠1=∠2

在三角形DFC与三角形GFC中

∠1=∠2

∠ADB=∠G=∠CDF

FC=FC

所以三角形DFC与三角形GFC全等

所以CG=CD=DA

D是AC中点

Answer 2

由于∠BEA=∠BAD=90°，所以△BAE∽△BDA，从而∠BAE=∠BDA=∠CDF，结合∠ABC=∠ACB可知，△ABF∽△DCF，故AB/CD=BF/CF。

根据正弦定理，AB/BF=sinAFB/sinBAF，AC/CF=sinAFC/sinCAF，而AB=AC，sinAFB=sinAFC，所以BF/CF=sinBAF/sinCAF。

又因为△BAE∽△BDA，∠BAF=∠ADB，∠CAF=∠ABD，故sinCAF=sinABD=AD/BD，sinBAF=sinADB=AB/BD，所以BF/CF=AB/AD。

综上可知，AB/CD=BF/CF=AB/AD，即AD=CD。