Question

有关数学函数的问题~

设函数f(x)=x|x|+bx+c 给出下列4个命题：
①c=0时，y=f(x)是奇函数
②b=0,c>0时，方程f(x)只有一个实根
③y=f(x)的图像关于（0,c)对称
④方程f(x)=0至多有两个实根
其中正确的命题是？

答案是①②③。为什么？请给出具体解释，谢谢~

Answer 1

解：1.c=0时，f(x)=x|x|+bx
f（-x）=－x│x│-bx
=-（x|x|+bx）
=－f（x）
命题为真.
2.
b=0时,f(x)=x|x|+c
当c＞0时，x＞0,则f（x）=x²＋c=0,无解
x＜0,x²=c,∵x＜0,∴只有一个实根
∴b=0,c＞0时，方程f(x)只有一个实根
3.
函数y=f(x)的图像关于点（0，c）对称的充要条件是
函数y=f(x)的图像上点P(x,y)关于点（0，c）的对称点P’(-x,2c-y)也在函数y=f(x)的图像上.
2c-y=f(-x)=-x|-x|-bx+c
y =x|x|+bx+c
可见命题为真.