Question

高数极限证明

高数极限证明第四大题2

Answer 1

一、先证单调性x(n)＜x(n+1)
(应用数学归纳法)

(1)显然，x(1)＜x(2)
(2)假设n=k时，结论成立，
即：x(k)＜x(k+1)
则：
x(k+1)=a/2+x²(k)/2
＜a/2+x²(k+1)/2=x(k+2)
所以，结论当n=k+1时也成立。

所以，x(n)＜x(n+1)对一切正整数n都成立。

二、再证有界性x(n)＜a
(应用数学归纳法)

(1)显然，x(1)＜a
(2)假设n=k时，结论成立，
即：x(k)＜a
则：
x(k+1)=a/2+x²(k)/2
＜a/2+a²/2
≤a/2+a/2 【0＜a≤1】
=a
所以，结论当n=k+1时也成立。

所以，x(n)＜a对一切正整数n都成立。

三、数列{x(n)}单调递增且有上界，
∴lim(n→∞)x(n)存在，
设lim(n→∞)x(n)=A，
根据递推公式，
A=a/2+A²/2
∴A²-2A+a=0
解得，A=1-√(1-a²) 或A=1+√(1-a²)(舍去)
【由二可得，x(n)＜a≤1
所以，极限不可能大于1】

综上，lim(n→∞)x(n)=1-√(1-a²)