Question

已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x^2+9y^2=36有相同的焦点。(1)求双曲线的标准方程;

已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x^2+9y^2=36有相同的焦点。(1)求双曲线的标准方程;（2）若点M在双曲线上，F1F2为左右焦点，且MF1+MF2=6根号3，试判别△MF1F2的形状。

Answer 1

4x^2+9y^2=36,
x^2/9+y^2/4=1,
则有,a=3,b=2.
c=√a^2-b^2=√5.
则椭圆的焦点坐标为F1,(-√5,0),F2(√5,0).
设,双曲线的方程为:
x^2/a^2-y^2/b^2=1,(a>b>0).
点,(3,-2)在双曲线上,有
9/a^2-4/b^2=1,
而,c^2=a^2+b^2,c=√5.
5=a^2+b^2,
9/a^2-4/b^2=1,解方程得,
a^4-18a^2+45=0,
(a^2-15)(a^2-3)=0,
(a)^2=15或(a)^2=3.
a^2=3,(a^2<c^2=5)
b^2=2.
双曲线的方程为:
x^2/3-y^2/2=1.
(2)
MF1+MF2=6√3

不妨设M在右支上
∴MF1-MF2=2a=2√3
∴MF1=4√3
MF2=2√3
F1F2=2√5
MF1^2=48

MF2^2=12
F1F2^2=20
cos∠MF2F1=(MF2^2+F1F2^2-MF1^2)/(2MF2*F1F2)<0
∴△MF1F2是钝角三角形

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