二阶混合偏导数的意义? 100
2020-03-20
下面的说法是个人研究,不敢保证绝对正确,仅供大家参考。
首先一阶偏导,以z=f(x,y)例,是固定一个元的值,专门以研究另外两个元的变化关系,与物理的控制变量法相似。原本函数f代表了一个曲面,当一个元比如y固定的时候,就会在曲面上截出一条曲线,所以z=f(x,y0)就代表了这条曲线,如图:
蓝色实线就是这条曲线,此时若对其求导,就是求这条曲线的导函数,即一阶偏导fx(x,y0)。
而一阶偏导即这个曲线的导函数,是一条新曲线。
二阶偏导数,就是建立在这个新曲线的基础之上。
若不是混合偏导数,比如fxx(x,y),就是对x再求一次导,即导函数的导函数,即蓝实线的导函数。
若是混合偏导数,比如fxy(x,y),首先,当我们先求出一阶偏导fx(x,y0)后,接下来就要对y求导了吧?而按照求一阶偏导的规矩,应该先固定那个不研究的元,在这里即固定x,而对y的固定这时应该解固了,就是说,原本的蓝实线的导函数(一阶偏导)就不再有y0固定它了,意味着这个新曲线可以按照y轴的伸展方向无限延展,从而形成一个新的曲面,如图:
即黑色平面,同时由于x的固定,又会截出一条曲线,即粉实线。固定之后求导,即二阶混合偏导数,即粉实线的导数。
而二阶偏导数之所以没有出现x0,y0等字眼,我想应该是因为x等先固定又解固,无法准确的用一个x0代表两个相反过程。而二阶非混合偏导数,其中一个元一直是固定的,我想应该是可以写成y0或是x0,不过被省略了,在求导过程中把这些被固定的x,y当成常数来处理也证实了这一点。
以上的说法仅是个人的研究,不敢说是绝对正确,只是希望自己的见解能够帮到大家,给大家一点参考作用而已,非常欢迎大家能帮我指正其中的错误与不足,谢谢。
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至于为什么相等,那就更简单了啊。首先划归到最简单形式xy混合求导是1,我们不完全推广一下,fxfy偏求导是f'xf'y。本质原因yx是平等关系,而不是y是x的函数,对一方求导另一方不受影响。举个例子也很简单,先做数学先做语文都是一样,到了最后都是全部做完了作业。
纯二阶偏导fxx (x,y)表示图形在x方向上的斜率在x方向上的变化率(变化趋势)。
混合偏导fxy(x,y)表示图形在x方向上的斜率在y方向上的变化率(变化趋势)。
注:图形在x,y方向上的变化趋势是有区别的。