二阶混合偏导数的意义? 100

二阶混合偏导数的意义?1.以及几何意义2.带图以上两点满足一点加分不需要复制的谢谢... 二阶混合偏导数的意义?1.以及几何意义
2.带图
以上两点满足一点加分
不需要复制的谢谢
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匿名用户
2020-03-20
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下面的说法是个人研究,不敢保证绝对正确,仅供大家参考。

首先一阶偏导,以z=f(x,y)例,是固定一个元的值,专门以研究另外两个元的变化关系,与物理的控制变量法相似。原本函数f代表了一个曲面,当一个元比如y固定的时候,就会在曲面上截出一条曲线,所以z=f(x,y0)就代表了这条曲线,如图:

图1

蓝色实线就是这条曲线,此时若对其求导,就是求这条曲线的导函数,即一阶偏导fx(x,y0)。

而一阶偏导即这个曲线的导函数,是一条新曲线。

二阶偏导数,就是建立在这个新曲线的基础之上。

若不是混合偏导数,比如fxx(x,y),就是对x再求一次导,即导函数的导函数,即蓝实线的导函数。

若是混合偏导数,比如fxy(x,y),首先,当我们先求出一阶偏导fx(x,y0)后,接下来就要对y求导了吧?而按照求一阶偏导的规矩,应该先固定那个不研究的元,在这里即固定x,而对y的固定这时应该解固了,就是说,原本的蓝实线的导函数(一阶偏导)就不再有y0固定它了,意味着这个新曲线可以按照y轴的伸展方向无限延展,从而形成一个新的曲面,如图:

即黑色平面,同时由于x的固定,又会截出一条曲线,即粉实线。固定之后求导,即二阶混合偏导数,即粉实线的导数。

而二阶偏导数之所以没有出现x0,y0等字眼,我想应该是因为x等先固定又解固,无法准确的用一个x0代表两个相反过程。而二阶非混合偏导数,其中一个元一直是固定的,我想应该是可以写成y0或是x0,不过被省略了,在求导过程中把这些被固定的x,y当成常数来处理也证实了这一点。

以上的说法仅是个人的研究,不敢说是绝对正确,只是希望自己的见解能够帮到大家,给大家一点参考作用而已,非常欢迎大家能帮我指正其中的错误与不足,谢谢。

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助情残殇
2018-03-18
知道答主
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这个问题很好理解,我来回答你。首先你要理解偏导数的几何意义,不然你是无法理解混合偏导数的意义的。混合偏导数的几何意义是x方向y偏导数的变化速度,或者y方向x偏导的变化速度。举个形象的栗子吧,你在山上环山走,不是直上直下走,而是环着走,这就是混合偏导的感觉。
……………………………分割……………………
至于为什么相等,那就更简单了啊。首先划归到最简单形式xy混合求导是1,我们不完全推广一下,fxfy偏求导是f'xf'y。本质原因yx是平等关系,而不是y是x的函数,对一方求导另一方不受影响。举个例子也很简单,先做数学先做语文都是一样,到了最后都是全部做完了作业。
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折扇与书生
2017-07-06
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对x的偏导是在某一固定y0截面与曲面交线的斜率,二阶混合偏导可以这样理解,就讲一种先导x再导y的吧,导x以后几何意义在开头已经说了。那么导y的几何意义就是说在针对最初的固定y方向曲线的斜率求偏导。思维转换下,把之前对x的偏导作为原函数,它的点x.y得到的函数值是针对x方向的初始函数的斜率 (对,就是说它可以求曲面上任意一点的x方向的斜率)那么再对y方向的偏导的意义就是在某个固定y值方向的每一点x方向斜率的斜率,也就是该点x方向斜率的变化快慢。同理,先导y再导x的意义就是某固定x方向对y方向斜率的增长速率。至于混合二阶偏导在定义域内连续就相等的意思,我认为就是说在任意连续点上,它y方向的斜率的x方向的斜率与x方向斜率的y方向的斜率相等。具体为何我也没想清楚,应该与条件中的连续有关
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微微一笑qWyZ0
2020-04-20
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首先导数在几何意义上就是斜率,也就是图形的变化趋势。
纯二阶偏导fxx (x,y)表示图形在x方向上的斜率在x方向上的变化率(变化趋势)。
混合偏导fxy(x,y)表示图形在x方向上的斜率在y方向上的变化率(变化趋势)。
注:图形在x,y方向上的变化趋势是有区别的。
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530241314
2017-12-16 · TA获得超过483个赞
知道小有建树答主
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另一个人问了,被回答了。去看看吧。

感觉答得挺好的,但是我没看懂

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