Question

二阶混合偏导数求偏导有先后顺序吗？

假设 z=f(x,y)，求 z 对x 和 y 的二阶混合偏导，
书上说：
一般地说，先偏导x再偏导y不等于先偏导y再偏导x。

但没过几行，书上又说：
当二阶混合偏导数连续时，先偏x后偏y跟先偏y后偏x相等。

两种表述让人郁闷，“一般地说”是不等，“二阶混合连续”条件下才相等。二阶混合连续这种情形很稀有吗？是“不一般”吗？
在做题时，到底要不要考虑偏导顺序呢？

Answer 1

这个是默认谁在前先导谁。x在y前就是先导x后导y，y在x前就是先导y后导x。

一般地说，先偏导x再偏导y不等于先偏导y再偏导x。但当二阶混合偏导数连续时，先偏x后偏y跟先偏y后偏x相等。所以当相等时，那就可以选择适当的顺序，而不必非得先x再y，用词确实不妥，“一般的说”但对一般的函数z=f（x，y），确实是不等的，因为这种函数是什么我们根本不清楚的。

x方向的偏导

设有二元函数z=f（x，y），点（x0，y0）是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f（x，y）有增量（称为对x的偏增量）△z=f（x0+△x，y0）-f（x0，y0）。

如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f（x，y）在（x0，y0）处对x的偏导数，记作f'x（x0，y0）或函数z=f（x，y）在（x0，y0）处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f（x，y0）在x0处的导数。

偏导数求法：

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

Answer 2

混合偏导数连续时，两者相等。

数理化就是学科上的数学、物理、化学，一般被称作理科（natural sciences）。与其对应的是文科（social sciences），有语文、历史、政治。

数学（英语：mathematics；希腊语：μαθηματικς）这一词在西方源自于古希腊语的μάθημα（máthēma），其有学习、学问、科学，以及另外还有个较狭意且技术性的意义－“数学研究”，即使在其语源内。其形容词μαθηματικός（mathēmatikós），意义为“和学习有关的”或“用功的”，亦会被用来指“数学的”。

其在英语中表面上的复数形式，及在法语中的表面复数形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数mathematica，由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικς（ta mathēmatiká），此一希腊语被亚里士多德拿来指“万物皆数”的概念。（拉丁文：mathemetica）原意是数和数数的技术。中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。通过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。

数学属性是任何事物的可量度属性，即数学属性是事物最基本的属性。可量度属性的存在与参数无关，但其结果却取决于参数的选择。例如：时间，不管用年、月、日还是用时、分、秒来量度；空间，不管用米、微米还是用英寸、光年来量度，它们的可量度属性永远存在，但结果的准确性与这些参照系数有关。

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单地说，是研究数和形的科学。由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。

基础数学的知识与运用总是个人与团体生活中不可或缺的一块。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地有小幅的进展，直至16世纪的文艺复兴时期，因著和新科学发现相作用而生成的数学革新导致了知识的加速，直至今日。

今日，数学被使用在世界上不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家亦研究没有任何实际应用价值的纯数学，即使其应用常会在之后被发现。

Answer 3

一般地说，先偏导x再偏导y不等于先偏导y再偏导x。
但
当二阶混合偏导数连续时，先偏x后偏y跟先偏y后偏x相等。
所以
当相等时，那就可以选择适当的顺序，而不必非得先x再y,
用词确实不妥，“一般的说”
但对一般的 函数 z=f(x,y)，确实是 不等的 ，因为这种函数是什么我们根本不清楚的。

Answer 4

已经明确说了，混合偏导数连续时，两者相等。当然，两者不相等的时候还是有的。从理论上说，二阶混合连续这种情形是稀有的，但从使用角度说是占绝大多数的，或者说，只要这道题不是专门考二阶混合偏导的先后顺序题的，那你就当成与求导顺序没有关系就行了。

Answer 5

当偏导连续时才想等，就是说如果证明了偏导连续，则不用考虑顺序，都相等，如果无法证明连续，则需要考虑