Question

已知函数f(x)的定义域(0,正无穷），且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且x>1,f（x)>0，f(4)=1,求证f

Answer 1

我来吧··
对于任意正实数都有f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1 f(1)=2f(1) 所以f(1)=0
那么f(x*1/x)=f(1)=f(x)+f(1/x)=0 所以f(x)=-f(1/x) 那么f(1/4)=-1
应该可以猜到f(x)=logx （对数底数为4）
下面严格证明吧

现在任意取x 分情况讨论
① x=4^n （n为整数） f(x)=f(4*4*……*4)=n
② x=4^(n/m) (n.m为整数，m>0) mf(x)= f(x^m)=f(4^n)=n 所以 f(x)=n/m
③ x=4^t (t为一个无理数） 那么 t=logx 底数为4
这里我直接说，如果a>b 那么f(a)> f(b) 你应该能证明出来的
下面构造数组p(n) q(n) ，注意它们都是有理数，也就是前面讨论过的情况
如下规定：p(1) 代表最大的小于t的数，小数点后只有1位 q(1)代表最小的大于t的数，小数点都只有1位
p(2) 代表最大的小于t的数，小数点后只有2位 q(2)代表最小的大于t的数，小数点都只有1位
比如 t=sqrt(2) （根号2）=1.414…… 那么p(1)=1.4 q(1)=1.5
p(2)=1.41 q(2)=1.42
p(3)=1.414 q(3)=1.415
那么对于x=4^t,一直有， 1. f(4^p(1))=p(1)<f(x)<q(1)=f(4^q(1))
2. f(4^p(2))=p(2)<f(x)<q(2)=f(4^q(2))
3. f(4^p(3))=p(3)<f(x)<q(3)=f(4^q(3))
```````````````````````由于t为一个无理数 p(n) q(n) 是会无限接近t的··
就有lim p(n）=lim q(n)=t=f(x) (n→∞）
于是f(x)=t=logx 底数为4····学极限应该能看懂（如果读大学，那造p(n) q(n)简直多次一举） 要是没学过 那就木有办法鸟··