Question

如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．

如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。

Answer 1

答：

1）f(x)对称轴x=-1，与x轴交点A（-3,0），则另外一个交点B与A关于
对称轴x=-1对称，所以：
点B为（1,0）

2）a=1，对称轴x=-b/(2a)=-b/2=-1，b=2
f(x)=x^2+2x+c
点B（1,0）代入得：f(1)=1+2+c=0，c=-3
f(x)=x^2+2x-3
与y轴的交点为C（0，-3），设点P为（p，p^2+2p-3)
2.1）
S△POC=4S△BOC
所以：|OC|*|p|/2=4*|OC|*|OB|/2
|p|=4|OB|=4
p=-4或者p=4
所以：点P为（-4,5）或者（4,21）
2.2）
AC直线为y=-x-3，设点Q为（q，-q-3），-3<q<0
点D横坐标x=q代入抛物线得y=q^2+2q-3
依据题意有：QD=-q-3-(q^2+2q-3)
=-q^2-3q
=-(q+3/2)^2+9/4
当q=-3/2时，QD最大为9/4