Question

数列求通项公式

数列｛a_n｝中，a_1=1/2,S_n=n^2*a_n,求通项公式

Answer 1

解：
（1）
S2 = 2^2 * a2 = a1 + a2 = 1/2 + a2
a2 = 1/6

S3 = 3^2 * a3 = a1 + a2 + a3 = 1/2 + 1/6 + a3
a3 = 1/12

S4 = 4^2 * a4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 1/2 + 1/6 + 1/12 + a4
a4 = 1/20

(2)
猜测{an}的通项公式是an = 1/[n(n+1)]

证：
当n = 2时，有
S2 = 2^2 * a2 = a1 + a2 = 1/2 + a2
a2 = 1/6 = 1/[2*(2+1)]

假设当n = N时，有aN = 1/[N(N+1)]，SN = N^2 * aN = N/(N+1)，则
当n = N+1时，有
SN+1 = (N+1)^2 * aN+1 = a1 + a2 + …… + aN + aN+1 = N/(N+1) + aN+1
aN+1 = [N/(N+1)]/[(N+1)^2 - 1] = 1/[(N+1)(N+2)]
所以
当n = N+1，公式成立

所以，对任意N，都有aN+1 = 1/[(N+1)(N+2)]，该命题成立。

证明完毕。