Question

已知函数f（x）=1/2mcos2x+（m-2）sinx，其中1≤m≤2，若函数f（x）的最大值

已知函数f（x）=1/2mcos2x+（m-2）sinx，其中1≤m≤2，若函数f（x）的最大值记为g（m），则g（m）的最小值为多少？

Answer 1

解答：
(1)f'(x)=1/x-a,根据题意，在区间(1,+∞)上为减函数，即当x>1的时候，f'(x)<0
所以1/x-a<0
1/x<a
得到a>1.
g(x)'=e^x-a
根据题意，要在(1,+∞)上有最小值，即当x>1的时候，g'(x)>0,为增函数，所以:
e^x-a>0
e^x>a
即:e>a.
所以a的取值范围为:(1,e).
(2)g(x)'=e^x-a,在区间(-1,+∞)为单调增函数，即当x>-1的时候，g'(x)>0,为增函数，所以:
e^x-a>0
e^x>a
e^x>e^(-1)>a
则:a<1/e.
此时f'(x)=1/x-a,
当0<x<e<1/a的时候，f'(x)>0,为增函数。
当e<x=1/a的时候，f'(x)=0
当x>1/a>e的时候，f'(x)<0,为减函数。
所以只有一个零点。

Answer 2

已知函数f(x)=(1/2)mcos2x+(m-2)sinx，其中1≤m≤2，若函数f(x)的最大值记为g(m)，
则g(m)的最小值为多少？
解：f(x)=(1/2)mcos2x+(m-2)sinx=(m/2)(1-2sin²x)+(m-2)sinx
=-msin²x+(m-2)sinx+(m/2)=-m{sin²x-[(m-2)/m]sinx}+(m/2)
=-m{[sinx-(m-2)/(2m)]²-(m-2)²/(4m²)}+m/2
=-m[sinx-(m-2)/(2m)]²+(m-2)²/(4m)+(m/2)
=-m[sinx-(m-2)/(2m)]²+(3m²-4m+4)/(4m)≦(3m²-4m+4)/(4m)
故f(x)的最大值g(m)=(3m²-4m+4)/(4m)=(3m/4)+(1/m)-1≧(√3)-1;
当3m/4=1/m，即3m²=4，m=√(4/3)=(√12)/3=(2/3)(√3)时g(m)获得最小值(√3)-1≈0.732.
当m=2时g(2)=3/2+(1/2)-1=1；
当m=1时g(1)=3/4+1-1=3/4=0.75；