Question

设f（x，y）定义于有界闭区域D，若f连续于D,则f在D内必存在极值。这句话

设f（x，y）定义于有界闭区域D，若f连续于D,则f在D内必存在极值。这句话对不对

Answer 1

选项A正确：如果f（x，y）≡0不成立，则存在P0（x0，y0）∈D，使得f（x0，y0）≠0，不妨设f（x0，y0）＞0．由连续函数的性质可得，lim(x，y)→(x0，y0)f(x，y)=f（x0，y0），对于?＝f(x0，y0)2＞0，存在δ＞0，当（x，y）∈D0={（x，y）|(x?x0)2+(y?y0)2＜δ}时，|f（x，y）-f（x0，y0）|＜f(x0，y0)2，从而f（x，y）＞f（x0，y0）-f(x0，y0)2=f(x0，y0)2．对于D0={（x，y）|(x?x0)2+(y?y0)2＜δ}，?D0f(x，y)dxdy＞f(x0，y0)2?πδ2＞0，与已知矛盾．故假设不成立，从而f（x，y）≡0．选项B错误：取D={（x，y）|x2+y2≤1}，f（x，y）=0， 0＜x2+y2≤11， (x，y)＝(0，0)，则f（x，y）≥0且恒不为0，但?Df(x，y)dxdy=0．选项C正确：因为f（x，y）在D连续，故f2（x，y）在D连续．因为?Df2(x，y)dxdy=0，故对于对D的任何子区域D0均有0≤?D0f2(x，y)dxdy≤?Df2(x，y)dxdy=0，故?D0f2(x，y)dxdy=0．从而由选项A可得，f2（x，y）≡0，故f（x，y）≡0．选项D正确：若f（x，y）在D连续，则f（x，y）在D上可积．利用积分中值定理可得，存在P（ξ，η）∈D，使得?Df(x，y)dxdy=f（ξ，η）meas（D）．又因为f（x，y）＞0，故?Df(x，y)dxdy＞0．综上，错误选项为B．故选：B．

Answer 2

需改动一个字：
设f（x，y）定义于有界闭区域d，若f连续于d,则f在d上必存在最值。
用“内”字，可以理解为在d的内部(不包括边界).

Answer 3

不对吧，可能存在鞍点