Question

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=2分之根号3，已知点p(0,2分之3）到椭圆上的点的最远距离

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=2分之根号3，已知点p(0,2分之3）到椭圆上的点的最远距离是根号7，求这个椭圆方程。

Answer 1

长轴在x轴上,离心率e=c/a=二分之根号三 设a=2t，由c/a=二分之根号三，得c=√3t算得b=t故设椭圆方程为X^2/4t^2 Y^2/t^2=1 由于点（0，3/2）到这个椭圆上的点的最远距离是根号七，有椭圆性质得，Y轴上的点到长轴在X轴上的椭圆上的点的最长距离是到左右顶点的距离 则根据勾股定理，有（3/2）^2 4t^2=（√7）^2 所以所求椭圆方程为4X^2/19 16Y^2/19=1