Question

一道初中数学问题

如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D,E,F分别在AB,AC,BC上,且AD=AE,CD为EF的中垂线,求证：BF=2AD。

Answer 1

我们先来分析下这道题：

可以依据题目描述分析,

“△ABC中,∠A=90°,AB=AC,”，可知：等腰直角三角形ABC,顶角是A,

“D,E,F分别在AB,AC,BC上,且AD=AE,”，从这个条件可以知道，EF是在相对的位置上的，但是具体的AE、AF的长度并不知晓，

“CD为EF的中垂线”，由这一句就可以确定E、F的位置了，怎样理解这句题目呢，中垂线就是垂直平分，不知道大家现在能不能看到等腰△EFC，而其中的两个全等的小直角△，∠1=∠2

“求证：BF=2AD”，要将BF、AD联系起来，而AD=AE,要想办法将他们联系起来

我们利用∠1=∠2，从D做BF的垂线DG,交BF于G点，易证明△ADC△GDC全等，又因△CEO△CFO全等，知：AD=DG,AE=GF

又有显然，BG=GD,

由以上相等关系，可知，BF=BG+GF=DG+AE=AD+AD=2AD

梳理下：

从D做BF的垂线DG,交BF于G点，

因为，DC是EF的中垂线，

所以，∠1=∠2

所以，△ADC△GDC全等，△CEO△CFO全等

易知：AD=DG,AE=GF

又知△GBD为等腰直角△，所以，BG=GD,

因此：BF=BG+GF=DG+AE=AD+AD=2AD

Answer 2

CD与EF的交点为O，∵CD为EF的中垂线，可得,△EOC≌△FOC(SAS),∴CE=CF,
再作DG⊥BC，可得△ADC≌△GDC(SAS),∴AD=DG,AC=CG,AC-CE=GC-CF,即AE=GF.又∵∠B=∠BDG=45°，∴BG=DG.又∵AD=DG，∴BG=AD,又∵AD=AE、AE=GF，GF=AD,∴BG=AD=GF,∴BF=2AD

Answer 3

由CD为EF的中垂线可知（1）CE=CF（2）∠BCD=∠ACD，CF=CE=AC-AE=AB-AD，则BF=BC-CF=BC+AD-AB。
下面证明BC-AB=AD，延长BA至G，使AG=AD，这样,△ADC全等于△AGC，∠AGC=∠AD）∠BCD=∠ACDC=∠DBC+∠DCB=67.5°（由（2）知∠BCD=∠ACD=22.5°），而∠GCB=∠ACG+∠ACB=∠ACD+∠ACB=67.5°（同上个括号），所以,△GBC是以∠GBC为顶角的等腰三角形，GB=BC，又因为GB=GA+AB=AD+AB，故AD+AB=BC，所以BF=BC+AD-AB=(BC-AB)+AD=2AD，得证。
叙述可能有问题希望楼主谅解。

Answer 4

（设CD交点为M）
在FB上截取FN=AD
连接DN
∵CD为EF中垂线
∴角CMF=∠CME=90
EM=FM
又∵CM=CM
∴CFM全等于CEF
∴CF=CE
∠DCF=∠DCA
∴CN=CA
又∵CD=CD
∴△CND全等于△CAD
∴∠A=∠DNC
DN=DA
∵∠A=90 AB=AC
∴∠B=45
∠DNC=∠DAC=45
∴∠BDN=45
∴BN=DN
∴BN=DN=AD=AE=NF
∴BN+NF=2AD
即BF=2AD