Question

已知抛物线y=x^2+px+q上有一点M(x0,y0)位于x轴下方。

1）求证：此抛物线与x轴交于两点 2）设此抛物线与x轴的交点为A（x1，0），B(x2，0)，且x1<x2，求证x1<x0<x2
我知道画图的话很简单 有没有代数的方法

Answer 1

（1）∵y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴下方，
∴y0=x02+px0+q=（x0+p2）2-p2-4q4＜0，
∴p2-4q4＞（x0+p2）2≥0，
∴p2-4q＞0，
∴△＞0，
∴此抛物线与x轴交于两点；

（2）∵x1+x2=-p，
x1?x2=q，
∴y0=x02+px0+q=x02-（x1+x2）x0+x1?x2＜0，
∴（x0-x1）（x0-x2）＜0，
故x1＜x0＜x2．

Answer 2

（1）∵y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴下方，
∴y0=x02+px0+q=（x0+p2）2-p2-4q4＜0，
∴p2-4q4＞（x0+p2）2≥0，
∴p2-4q＞0，
∴△＞0，
∴此抛物线与x轴交于两点；

（2）∵x1+x2=-p，
x1?x2=q，
∴y0=x02+px0+q=x02-（x1+x2）x0+x1?x2＜0，
∴（x0-x1）（x0-x2）＜0，
故x1＜x0＜x2．