Question

已知a、b、c为三角形的三边，求证:方程a²x²+(a²+b²-c²)x+b²=0没有实数根。

Answer 1

解：∵方程a²x²+(a²+b²-c²)x+b²=0没有实数根 ∴△＜0
∴用跟的判别式和三角形三遍关系来证明(a²+b²-c²)²-4a²b²这个式子的大小：原式=(a²+b²-c²)²-（2ab)²
=(a²+b²-c²+2ab)*(a²+b²-c²-2ab）
=[(a+b)²-c²]*[(a-b)²-c²]
=[(a+b+c)(a+b-c)]*[(a-b+c)(a-b-c)]
∵a+b+c＞0 a+b-c＞0 a-b+c＞0 a-b-c＜0 （三角形三边关系得到：两边之和大于第三遍，两边之差小于第三遍）
∴正数*正数*正数*负数＜0
即：△＜0

∴方程a²x²+(a²+b²-c²)x+b²=0没有实数根

Answer 2

解: ∴用跟的判别式和三角形三遍关系来证明(a²+b²-c²)²-4a²b²这个式子的大小：原式=(a²+b²-c²)²-（2ab)²
=(a²+b²-c²+2ab)*(a²+b²-c²-2ab）
=[(a+b)²-c²]*[(a-b)²-c²]
=[(a+b+c)(a+b-c)]*[(a-b+c)(a-b-c)]
∵a+b+c＞0 a+b-c＞0 a-b+c＞0 a-b-c＜0 （三角形三边关系得到：两边之和大于第三遍，两边之差小于第三遍）
∴正数*正数*正数*负数＜0
∴方程a²x²+(a²+b²-c²)x+b²=0没有实数根

Answer 3

因为是三角形，所以此题关键是三角形定理，即：a+b>c,a-b<c。将等式看为a²x²+bx+c的形式，求b²-4ac，与0比较大小。有三角形定理即可证明小于0，所以方程无解

Answer 4

a²x²+(a²+b²-c²)x+b²=0
(a2+b2-c2)2-4a2b2
=(a2-2ab+b2-c2)(a2+2ab+b2-c2)
=(a-b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a+b+c)
= + - + -
= -