Question

函数f(x)=xe^x+lnx/x，若对任意x∈（0,﹢∞），xe^x-lnx≥1+kx恒成立，求实数k的取值范围.

规范解答步骤得分点，
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Answer 1

• 令g(x)=xe^x-lnx  x∈(0,+∞)

  g'(x)=e^x+xe^x-1/x

  g''(x)=2e^x+xe^x+1/x²>0→g(x)是凹函数

  y=kx+1 过定点(0,1) 由于g(x)是凹函数，故y=kx+1正好是g(x)的切线时，g(x)≥kx+1

  当且当切点处，等号成立

  设切点坐标为(x₁,kx₁+1)

• g'(x₁)=e^x₁+x₁e^x₁-1/x₁=k

  g(x₁)=x₁·e^x₁-lnx₁=kx₁+1

  解得k=1，k<1时 kx+1-(x+1)=(k-1)x<0→ kx+1<x+1<g(x)

  k∈[-∞,1]