Question

帮忙解决一下复数的问题

设w是x^3=1的一个虚根，求 （1+w）*（1+w^2）*（1+w^4）*（1+w^8） 和w^n + w^-n （n属于正整数）的值 谢谢

Answer 1

第一个好求一些：

（1+w）*（1+w^2）*（1+w^4）*（1+w^8）
=（1-w）*（1+w）*（1+w^2）*（1+w^4）*（1+w^8）/(1-w)
=(1-w^16)/(1-w)
由于w^3=1

故w^15=1

故（1+w）*（1+w^2）*（1+w^4）*（1+w^8）
=(1-w^16)/(1-w)
=（1-w）/(1-w)
=1

第二问要用到三角形式：
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0
故w是方程x^+x+1=0的一根

w1=cos2/3π+isin2/3π
w2=cos2/3π-isin2/3π
故w1w2=1
将w1代入：

其中：1/w1^n=w2^n

故w^n + w^-n=w1^n+w2^n
=2cos2n/3π
（这里用到棣莫弗定理）