Question

等价无穷小的加减具体什么时候才能用啊？

如图，今天做了两个题都是关于加减情况下等价无穷小的运用，但是第一个是对的，第二个题是错的，第二个正确答案应该是3/2，请问是为什么呢？希望留下具体过程，还有关于加减情况下，等价无穷小的具体使用条件是什么？

Answer 1

若A~A1，B~B1，并且limA1/B1=c，c不为1，此时对于A-B的等价无穷小才能进行减法。

至于加法，加法从减法可以推出，条件是 limA1/B1=c，c不为-1。

例如：sinx-x~x-x是错误的，因为由泰勒公式：sinx=x-x/3!+o(x)

所以sinx-x=x-x³/3!+o(x³)-x=-x³/3!+o(x³)~-x³/3!

求极限时，使用等价无穷小的条件

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

Answer 2

直接回答，若A~A1，B~B1,并且limA1/B1=c,c不为1，此时对于A-B的等价无穷小才能进行减法。

至于加法，加法从减法可以推出，条件是 limA1/B1=c，c不为-1.

你的第二问之所以错误，在于恰好遇到等价无穷小相减不可以用的情况

Answer 3

为什么用等价无穷小呢?一般是为了简便计算。实际上等价无穷小，是在很小的误差下，而简化运算。因为极限也是在无线趋近的情况下有的。有时候很小的误差是经过一系列计算就变得很严重了。所以一般是相乘的时候比上下面的分母才用等价，因为可以抵消。而如果加减就不是了，本来不是零的，一替换就变成了趋近于0，还要加减计算，偏差就更大了。有时候的你替换了，然后是加减的，可能是凑巧和正确答案一样，所以加减尽量别用等价无穷小，先拆开。
(等价无穷小的前提是趋近于0，也要小心。先是趋近于0，再来说等价无穷小替换的事情)
(倘若还模糊的话，我们可以继续探讨，我只是说了自己的理解，每个人都有自己的理解的)

Answer 4

简单分析一下即可，答案如图所示

Answer 5

还有乘法不能用的时候，我给你转化成ln加法，就知道了。等价无穷小本来就不是根本原理，原理是泰勒展开，你展开算到式子最外面，和分母同阶，说明不会错。懂自然能懂，等价无穷小从来都不是一个tool,只算一个technique,一个不是通用的technique