Question

这个函数的不定积分，用三角代换咋做

Answer 1

如图所示

追问

我得到的结果是你的倒数第二行那个，请问最后两步，a可以消吗，为啥啊

Answer 2

令 x = atanu， 则 dx = a(secu)^2du
∫dx/√(x^2+a^2) = ∫secudu = ln|secu+tanu| + C1
= ln|√(x^2+a^2)/a+x/a| + C1
= ln|x+√(x^2+a^2)| - ln|a| + C1
= ln|x+√(x^2+a^2)| + C, 其中 C = C1 - ln|a|

追问

为什么可以这样指定，c=c1-lna呢，虽然c是任意数，别的题的结果我也可以随意指定c等于什么吗

追答

求不定积分就是求原函数。
一个函数的原函数是一个函数族， 他们之间差只一个常数。
例如，x^2, x^2+1 都是 2x 的原函数。
则 ln|√(x^2+a^2)/a+x/a|， ln|x+√(x^2+a^2)| 都是 1/√(x^2+a^2) 的原函数，
他们之间差只一个常数 lna。
C1 是任意常数， 则 C = C1 - ln|a| 也是任意常数。