Question

若数列的任何子数列收敛,此数列是否一定收敛

若数列的任何子数列收敛,此数列是否一定收敛？为什么？

Answer 1

• 我们认可这样一个前提：改变（包括添加、删除、改变数值）某数列的有限数目个项，不改变数列的敛散性。

• 可以这样理解，数列的收敛与否我们只关心很远很远的数列尾巴的情况，只改变有限数目的项，都影响不到数列尾巴的情况，自然改变不了数列敛散性。

既然数列 {An} 的任何子列都收敛，我们删去首项 A1，得到一个新数列 {An'}。

由题意，{An'} 是  {An} 的子数列，故 {An'} 收敛；而  {An'} 和  {An} 只有有限项更改，自然 {An} 必然收敛。

Answer 2

先说答案：收敛。课本里涉及到这个了，原题还是集合的任意子集存在它的收敛子集，然后一句话带过收敛，条件比题主这个还要苛刻（因为收敛数列一定有收敛子列）。

题主这个可以这样理解，原集合也可以是自己的一个子集，所以收敛。

然后那个杨老师不够认真啊。有界集合存在收敛子集OK，但题主说的是任何子集都收敛。这波是没仔细审题。

Answer 3

收敛，详情如图所示