Question

高数：已知y=xe^-x是方程y″+py′+qy=0的一个特解，求y″+py′+qy=2x+3的通解

我最不明白的是，如何得出r1=r2=-1？
为什么-1是特征方程的重根，如果是重根那么特解的y=x^应该是2而非1呀。。？
根据已知，n/λ=-1，x为一次方，不是说明n/λ是特征根的单根嘛？

Answer 1

因为y=xe^(-x)是方程y''+py'+qy=0的一个特解；首先应肯定x≠0；因为若x=0，则有y=0；
也就是说x=0本身就是此齐次方程的另一个特解；故在下面的讨论中，要排除x=0的情况;
将y=xe^(-x)(x≠0)代入齐次方程：
y'=e^(-x)-xe^(-x)=(1-x)e^(-x);
y''=-e^(-x)-(1-x)e^(-x)=(x-2)e^(-x);
将y, y', y''代入齐次方程得：
(x-2)e^(-x)+p(1-x)e^(-x)+qxe^(-x)=[(x-2)+p(1-x)+qx]e^(-x)=((1-p+q)x+(p-2)]e^(-x)=0;
∵ x≠0，且对任何x都有e^(-x)≠0，∴要使上式成立，必有p-2=0, 即p=2；1-p+q=-1+q=0,
∴q=1；因此齐次方程为：y''+2y'+y=0，其特征方程 r²+2r+1=(r+1)²=0有重根 r₁=r₂=-1；
下面就是求 y''+2y'+y=2x+3的解，这很容易。
你后面的问题：【如果是重根那么特解的y=x^应该是2而非1】此问题不存在，因为题目说的是
y=xe^(-x)是齐次方程y''+py'+qy=0的特解，方程右边是0，不存在你说的问题。

追问

最后一句话金句了😂！！！！

追答

我在很认真的回答你的问题，如果不妥，可以反驳或讨论，但不要
讽刺挖苦。你的认识源于以下情况：如果二阶常系数非齐次线性方
程具有以下形式：
y''+py'+qy=f(x)；其中f(x)=Pm(x)e^(αx)；(m是脚标)
那么方程的特解可设为：y*=(x^k)Qm(x)e ^(αx)
Qm是与Pm同次(m次)的多项式，k是齐次方程：y''+py'+qy=0的
特征方程中含有重根α的次数(即按α不是特征方程的根，或是单根，
或是重根，依次取k=0或1或2);
现在f(x)=0，当然就不存在你说的问题。我的分析错了吗？

追问

没有哇那个意思哇，金句就是说得好！！我可算是明白了我的认知误区，感谢~

Answer 2

如果r1和r2不相等，那么这个齐次方程的通解为 y=c1e^r1x+c2e^r2x，是不可能出现xe^-x的特解，因为c1、c2均不含有x；
而只有当r1=r2=r时，齐次方程的通解为 y=(c1+c2x)e^rx
这个特解即是令通解的c1=0,c2=1,r=-1。

Answer 3

y1-y2和y1-y3分别是方程对应的齐次方程的解，那么方程的通解应该是
y=a*y1+b*(y1-y2)+c*(y1-y3)