Question

函数f(x)=sin(wx+φ)+cos(wx+φ)(w﹥0,|φ|﹤π/2）的最小正周期为π，且f(-x)=f(x)则它的单调区间

Answer 1

解：函数f(x)
=
sin(wx
+
φ)
+
cos(wx
+
φ)
=
√2sin(wx
+
φ
+
π/4)的最小正周期为π，所以2π/|w|
=
2π/w
=
π，可得w
=
2，所以函数f(x)
=
√2sin(2x
+
φ
+
π/4)
；
任取x∈R，那么f(-x)
=
√2sin(-2x
+
φ
+
π/4)，由已知f(-x)
=
f(x)，所以√2sin(-2x
+
φ
+
π/4)
=
√2sin(2x
+
φ
+
π/4)，即sin(-2x
+
φ
+
π/4)
=
sin(2x
+
φ
+
π/4)，所以有
-2x
+
φ
+
π/4
=
2kπ
+
π
–
(2x
+
φ
+
π/4)，k∈Z，整理可得
-2x
+
φ
+
π/4
=
2kπ
+
π
–
2x
–
φ
–
π/4，移项可得2φ
=
2kπ
+
π/2，k∈Z，所以φ
=
kπ
+
π/4，k∈Z，由已知|φ|
<
π/2，即
-π/2
<
φ
<
π/2，所以当且仅当k
=
0时，φ
=
π/4，代入可得f(x)
=
√2sin(2x
+
π/4
+
π/4)
=
√2sin(2x
+
π/2)
=
√2cos2x，即f(x)
=
√2cos2x，以下求单调区间：
1）当2kπ
–
π
≤
2x
≤
2kπ，k∈Z时，f(x)
=
√2cos2x单调递增。化简可得kπ
–
π/2
≤
x
≤
kπ，k∈Z；
2）当2kπ
≤
2x
≤
2kπ
+
π，k∈Z时，f(x)
=
√2cos2x单调递减。化简可得kπ
≤
x
≤
kπ
+
π/2，k∈Z；
综上所述，函数f(x)
=
√2cos2x的
单调递增区间
是
[
kπ
–
π/2
，
kπ]
，
k
∈
Z
，函数f(x)
=
√2cos2x的
单调递减区间
是
[
kπ
，
kπ
+
π/2]
，
k
∈
Z

。

Answer 2

f(x)=sin(wx+φ)+cos(wx+φ)

=根号2sin(wx+φ+π/4)
最小正周期为π，w=2
f(-x)=f(x)，偶函数
所以φ+π/4=π/2
所以跟号2sin(wx+φ+π/4）=跟号2sin(wx+π/4+π/4=跟号2coswx
剩下的单调区间交给你了！
OK？
赞！谢谢采纳！