不定积分第二类换元法

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匿名用户
2018-12-10
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换元的根本目的是要将式子中原本的根号去掉。
比如:
被积函数含根式√(a^2-x^2),令 x = asint,源式化为 a*cost。
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t)。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难,因此我们设法作代换消去根式,使之变成容易计算的积分。
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法:
(1)根式代换:被积函数中带有根式√(ax+b),可直接令 t =√(ax+b);
(2)三角代换:利用三角函数代换,变根式积分为有理函数积分,有三种类型:
被积函数含根式√(a^2-x^2),令 x = asint
被积函数含根式√(a^2+x^2),令 x = atant
被积函数含根式√(x^2-a^2),令 x = asect
注:记住三角形示意图可为变量还原提供方便。
tllau38
高粉答主

2018-12-10 · 关注我不会让你失望
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(4)

let
lnx= tanu
(1/x) dx = (secu)^2 du
∫dx/[x.lnx.√(1+(lnx)^2) ]
=∫(secu)^2 du/[tanu.secu ]
=∫(secu/tanu) du
=∫cscu du
=ln|√(1+(lnx)^2)/lnx - 1/lnx| +C
=ln|√(1+(lnx)^2) -1| -ln|lnx| +C
(6)
x^2+2x+3 = (x+1)^2 +2
let
x+1=√2 tanu
dx=√2 (secu)^2 du
∫(3x+2)/√(x^2+2x+3) dx
= (3/2) ∫(2x+2)/√(x^2+2x+3) dx -∫dx/√(x^2+2x+3)
=3√(x^2+2x+3) -∫√2 (secu)^2 du/[√2.secu]
=3√(x^2+2x+3) -∫ secu du
=3√(x^2+2x+3) -ln|secu + tanu | +C'
=3√(x^2+2x+3) -ln|√(x^2+2x+3) /√2 + (x+1)/√2 | +C'
=3√(x^2+2x+3) -ln|√(x^2+2x+3) + (x+1) | +C
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炼焦工艺学
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(*^▽^)/★*☆

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2018-12-10
知道答主
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等等我们还只教了第一类…
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