Question

求解微分方程f''(x)-f'(x)-6f(x)-e^(-2x)=0的通解

求解微分方程f''(x)-f'(x)-6f(x)-e^(-2x)=0的通解

Answer 1

待定系数法：
设f''(x)-f'(x)-6f(x)=[f''(x)+af'(x)]+b[f'(x)+af(x)]=f''(x)+(a+b)f'(x)+abf(x)
则a+b=-1，ab=-6，所以a,b是方程t²+t-6=0的根
解得 a=2,b=-3或a=-3,b=2
随便取一种a=-3,b=2
f''(x)-f'(x)-6f(x)=[f''(x)-3f'(x)]+2[f'(x)-3f(x)]
令g(x)=f'(x)-3f(x)，则g'(x)=f''(x)-3f'(x)
微分方程可以化为：g'(x)+2g(x)=e^(-2x)
解得g(x)，再去求解f(x)

Answer 2

设 y=f(x)，方程化为 y '' - y ' - 6y = e^(-2x)，
特征方程 t^2-t-6=0 的解 t1=-2，t2=3，
因此齐次方程通解为 y=C1e^(-2x) + C2e^(3x)，
设特解 y=axe^(-2x)，则 y' = (-2ax+a)e^(-2x)，y'' = (4ax-4a)e^(-2x)，
代入得可解得 a = -1/5，
所以原微分方程通解为 y=C1e^(-2x)+C2e^(3x) - 1/5 * xe^(-2x) 。