求微分方程xf'(x)+f(x)-xf(x)-e^2x=0
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解:∵微分方程为xf'(x)+f(x)-xf(x)-e^2x=0
化为xy'+(1-x)y=e^2x
∴有y'xe^(-x)+y(1-x)e^(-x)=e^x，
[yxe^(-x)]'=e^x，yxe^(-x)=e^x+c
(c为任意常数) ∴方程的通解为
y=(e^2x+ce^x)/x
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系科仪器
2024-08-02 广告
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简单计算一下即可，答案如图所示
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简写为: xy'+y-xy-e^2x=0
(xy)'-xy-e^2x=0
令xy=z
z'-z-e^2x=0
这是一阶线性微分方程. P(x)=-1, Q(x)=e^2x
利用通解公式就能求出z即xy.
(xy)'-xy-e^2x=0
令xy=z
z'-z-e^2x=0
这是一阶线性微分方程. P(x)=-1, Q(x)=e^2x
利用通解公式就能求出z即xy.
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p(x) =(1-x)/x
∫ p(x) dx = ∫ (1-x)/x dx = ∫ [ 1/x -1] dx = ln|x| -x +C
e^[∫ p(x) dx] = xe^(-x)
xy'+y-xy-e^(2x) =0
xy'+y-xy =e^(2x)
y'+[(1-x)/x]y =e^(2x)/x
两边 乘以 xe^(-x)
xe^(-x) { y'+[(1-x)/x]y} =[e^(2x)/x].xe^(-x)
d/dx [ xe^(-x).y] = e^x
xe^(-x).y =∫ e^x dx
= e^x +C
y= [e^x +C]/[xe^(-x)]
∫ p(x) dx = ∫ (1-x)/x dx = ∫ [ 1/x -1] dx = ln|x| -x +C
e^[∫ p(x) dx] = xe^(-x)
xy'+y-xy-e^(2x) =0
xy'+y-xy =e^(2x)
y'+[(1-x)/x]y =e^(2x)/x
两边 乘以 xe^(-x)
xe^(-x) { y'+[(1-x)/x]y} =[e^(2x)/x].xe^(-x)
d/dx [ xe^(-x).y] = e^x
xe^(-x).y =∫ e^x dx
= e^x +C
y= [e^x +C]/[xe^(-x)]
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令u=xf(x)
整理微分方程可得u'－u=e^2x
得u=Ce^x+e^2x
故f(x)=(Ce^x+e^2x)/x
整理微分方程可得u'－u=e^2x
得u=Ce^x+e^2x
故f(x)=(Ce^x+e^2x)/x
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