Question

求微分方程：f'(x)+xf(-x)=x的通解

请写出求解的具体步骤，谢谢。
谢谢各位老师的解答，不好意思，我把题看错了看掉了一个 f'(x)+xf'(-x)=x 应该是这样，不好意思，还是感谢各位老师的解答。各位老师的解答也很精彩。

Answer 1

假设, 若存在y=f(x)满足题意.
由题可知, y=f(x)在定义域内可导, 且定义域关于原点对称.
因为f'(x)+xf(-x)=x
所以f'(-x)-xf(x)=-x
等号两边相加
f'(x)+f'(-x)+x(f(-x)-f(x))=0

令f(-x)-f(x)=g(x),则g(x)和f(x)定义域相同,
g(-x)=f(x)-f(-x)=-g(x), 则g(x)为奇函数.
g'(x)=-f'(-x)-f'(x)
因为f'(x)+f'(-x)+x(f(-x)-f(x))=0
所以-g'(x)+xg(x)=0
解此方程得g(x)=e^(x^2/2)+C, C为任意常数.
g(-x)=e^(x^2/2)+C≠-g(x)
所以g(x)不是奇函数.
由此产生矛盾, 所以假设错误, 因此不存在函数y=f(x)满足题意.

有道理, 我常数C的位置写错了

Answer 2

f(x)=1+C*exp(-0.5*x^2)。f'(x)+xf(-x)=x ...(1) =〉df(-x)/d(-x)+(-x)*f(x)=-x...(2)。 (1)-(2) =〉f(x)+f(-x)=2+2*C*exp(-0.5*x^2)。
(1)+(2)=〉f(x)-f(-x)=0*exp(0.5*x^2)。f(x)=0.5*{[f(x)+f(-x)]+[f(x)-f(-x)]}=1+C*exp(-0.5*x^2)), C为任意常数。

Answer 3

求微分方程：f'(x)+xf(-x)=x的通解
悬赏分：5 - 离问题结束还有 14 天 14 小时
请写出求解的具体步骤，谢谢。
提问者： max_yuri - 助理 三级

回答：
【1】我在楼上的基础上继续解答问题，很可惜楼上解答漏掉了一个环节导致求解失败了
【2】
假设存在y=f(x)满足条件.
则有y=f(x)在定义域内可导, 且定义域关于原点对称.
∵f'(x)+xf(-x)=x
∴f'(-x)-xf(x)=-x
∴
f'(x)+f'(-x)+x(f(-x)-f(x))=0

不妨令f(-x)-f(x)=g(x),显然g(x)与f(x)定义域相同,
g(-x)=f(x)-f(-x)=-g(x), 故g(x)为奇函数.
g'(x)=-f'(-x)-f'(x)
∵f'(x)+f'(-x)+x(f(-x)-f(x))=0
∴-g'(x)+xg(x)=0
∴g(x)=Ce^(x^2/2), C为任意常数.
考虑到g(x)为奇函数，所以g(0)=0
带入后得到g(0)=C=0 C=0
∴g(x)=0
所以g(x)必须为常值函数.
f(-x)-f(x)=g(x)=0
也就是说f(x)是偶函数
原来的微分方程变为y'+xy=x
解方程得到f(x)=1+Ce^(-0.5x^2)
检验后可以知道，这个解的确是答案要求的通解

由此存在函数y=f(x)满足题意.
f(x)=1+Ce^(-0.5x^2)