Question

椭圆 高中数学？

常规做法中，为什么分别是长轴和通径的时候面积最大？

Answer 1

这个你可以自己画一下，从椭圆的面积公式来看即可得知“有椭圆的长半轴a,短半轴b,计算其面积的公式为s=πab ”而长轴和短轴的变化率又是相互影响的，互成反比，且越来越大（这一点同正方形差不多，所以可以把它当正方形来看待，可以用正方形的面积来勉强解释），所以就用它的公式来计算，就可以知道面积是先变大后变小，顶点时就是当长轴和通径时最大。（因为椭圆有两个轴，固面积最大值有两个）望采纳

追问

…你在答非所问？？？

Answer 2

这是椭圆的一个二级结论,可以记下来

S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=1/2*AC*BF+1/2*AC*DF=1/2*AC*BD,也就是说四边形ABCD的面积等於两条弦长乘积再除以2,前提是这两条弦互相垂直.

利用椭圆的焦点弦公式,d=2ab²/(a²-c²cos²θ),θ是直线的倾斜角.这个公式证明步骤自己百度

因为AC⊥BD,所以当AC的倾斜角是θ时,BD的倾斜角就是θ+π/2,cos²(θ+π/2)=sin²θ=1-cos²θ

所以|AC|=2ab²/(a²-c²cos²θ),|BD|=2ab²/(b²+c²cos²θ)
令cos²θ=t,|AC|*|BC|,只看分母.分母就是a²b²+c^4*t-c^4*t²,t∈[0,1]
这是一个关於t的二次函数,显然分母越小,分数值越大.这是开口向下的抛物线,对称轴又在y轴的左边(二次项和一次项系数同号的时候,对称轴在左边),所以在[0,1]上f(t)是减函数,最小值是当t=1时取得.
而cos²θ=t=1,这就意味著θ=0或π.θ是倾斜角,只有[0,π),所以θ=0,即AC的倾斜角为0,那不就是x轴了吗?那麼BD自然就是通径,垂直於x轴