Question

(e^(1/x))/x当x趋向于0时的极限怎么算

Answer 1

如图

Answer 2

首先，我们可以将题目中的函数写成以下形式：
f(x) = e^(1/x) / x
当 x 趋向于 0 时，1/x 的值趋近于正无穷大，因此 e^(1/x) 的值趋近于无穷大。同时，x 趋近于 0，因此 f(x) 的值趋近于 0。
为了更加准确地确定极限值，我们可以使用洛必达法则。即对函数的分子和分母分别求导：
f'(x) = (-e^(1/x) / x^2) + (e^(1/x) / x^2) = 0
因此当 x 趋近于 0 时，f(x) 的导数趋近于 0，故 f(x) 的极限值为：
lim e^(1/x) x->0+ ------ x
根据洛必达法则，我们可以继续求导：
f''(x) = (2e^(1/x) / x^3) - (e^(1/x) / x^4) = (∞ / ∞)
再次使用洛必达法则，我们可以继续求导：
f'''(x) = (-6e^(1/x) / x^4) + (8e^(1/x) / x^5) - (2e^(1/x) / x^6) = (-∞ / ∞)
因此，我们无法用求导来确定极限值。但是，我们可以通过对变量做替换来得到答案。
我们令 t = 1/x，则当 x 趋近于 0+ 时，t 趋近于正无穷大。将 f(x) 转化为关于 t 的函数：
f(t) = e^t / (1/t)
t

lim e^t t->∞ ----- 1/t
利用极限的基本性质，将分母转化为乘法并将 t 移到指数上：
lim e^t

t->∞ t * ----- 1
这是一个经典的无穷大乘以零型极限，答案为 0。因此，当 x 趋向于 0 时，e^(1/x)/x 的极限为 0。

Answer 3

当x趋向于0时，分母x趋于0，分子中的指数1/x趋于无穷大，因此这是一个“0/无穷大”的不定式。可以使用洛必达法则求解：

将函数化简为f(x) = e^(1/x) / x

f(x) = e^(1/x) / x

f'(x) = (-e^(1/x) / x^2) - (e^(1/x) / x^2)

令x趋向于0，得到f'(x) = -1，因此原式的极限为：

lim(x->0) e^(1/x) / x = lim(x->0) [1/f(x)] = lim(x->0) (-x/e^(1/x)) = 0

所以(e^(1/x))/x当x趋向于0时的极限为0。

Answer 4

用定义计算左右极限，左右极限不同，原函数在这一点的极限不存在