Question

高数题。设f(x)连续，证明

Answer 1

考虑这个二重积分I=∫∫f(x)f(y)dxdy,积分区域是正方形D:a≦x≦b,a≦y≦b。首先将I化成累次积分有I=∫(a,b)dx∫(a,b)f(x)f(y)dy,即先对y后对x的累次积分，容易算得二重积分的值I就是2个定积分的乘积I=∫(a,b)f(x)dx·∫(a,b)f(y)dy，由于定积分的值跟积分变量无关，所以I=[∫(a,b)f(x)dx]^2.现在把正方形D用y=x分成两部分，y=x上方的积分记为I1,下方的积分记为I2,I=I1+I2,I1=∫(a,b)dx∫(x,b)f(x)f(y)dy,也就是要证明的等式的左边，I2 换一个次序先对x后对y积分，I2=∫(a,b)dy∫(y,b)f(x)f(y)dx,也是由于定积分跟积分变量无关，I1=I2,所以2I1=I,I1=(1/2)I,把上面I和I1的表达式代入，就是结论。