Question

原函数x除以根号下(1+x)²d根号下(1+x²)

为什么x不用求一次原函数

Answer 1

这类题一般都是三角换元脱根号，
令x=tanu
=∫1/sec³udtanu
=∫cosudu
=sinu+C
然后还原代入

Answer 2

let
x=tanu
dx= (secu)^2 du
∫dx/(1+x^2)^(3/2)
=∫ (secu)^2 du/(secu)^3
=∫ cosu du
=sinu + C
=x/√(1+x^2) + C

Answer 3

令x=sin2t，那么dx=d(sin2t)=2sintcostdt，√(x/(1-x)=√(sin2t/cos2t)=sint/cost ∴原式=∫(sint/cost)*2sintcostdt=∫2sin2tdt=∫(1-cos2t)dt=t-1/2*sin2t+C 而sint=√x，∴t=arcsin√x，sin2t=2sintcost=2√x*√(1-x)=2√(x-x2) ∴原式=arcsin√x-√(x-x2)+C