Question

高悬赏求一道数学小题

求所有n∈Z,使√(n^3-3n^2-7n+37)∈N+

Answer 1

问题等价于求n³-3n²-7n+37 = y²的整数解(n,y).
换元n = x+1即y² = x³-10x+28的整数解(x,y).
这里用三次方程求根公式是没用的,
因为没办法讨论两个立方根号相加何时为整数.

y² = x³-10x+28属于所谓椭圆曲线(注意不是椭圆).
椭圆曲线的某种简化一般形式是y² = x³+ax+b (Weierstrass短形式).
当a, b都是有理数时,
可以由已有的两个有理点通过某种"加法"得到新的有理点.
而所有有理点都可以用有限个点以上述"加法"生成(Mordell-Weil定理).
另一方面, 椭圆曲线上至多有有限个整点(Siegel定理).

关于这方面有专门的理论和算法,
某些计算代数系统可以计算,
例如如下地址的在线版:
magma.maths.usyd.edu.au/calc/
输入命令(别落了分号):
IntegralPoints(EllipticCurve([-10,28]));
就能得到10个整点, 对应x的5个取值: x = -4, 2, 3, 76, 5228,
即得n的5个取值: n = -3, 3, 4, 77, 5229.

我对算法的细节也不了解.
不过据我所知的结果, |x|的理论上界可能要到e^(28^270).
所以我不确定这里算出的是全部整点.
只能凭感觉相信这个结果.

总之我想说的是, 一般的椭圆曲线整点问题是很难的.
某些情形可以有初等的解法, 但只是少数.
一般情形有深刻的理论结果, 但要给出全部解还是要结合计算.
关于计算的细节我不了解, 也许仍不足以确定找到的是全部解,
因为理论上给出的上界实在是太大了(虽然不是简单枚举, 但还是很难算).

Answer 2

答：
√(n^3-3n^2-7n+37)是自然数
则n^3-3n^2-7n+37=k^2是完全平方数
n^3-3n^2-7n+37-k^2=0
属于三元一次方程，应用盛金公式可以求解
要求：n是整数，k是自然数即可

请参考盛金公式的求解方法：
http://baike.baidu.com/view/606391.htm?fr=aladdin

追问

没有其它方法了吗？

追答

我个人认为，从严格的计算来看，只能用盛金公式讨论求解了

或者用计算器穷举，不过这样不能保证能穷举出所有来

追问

你能帮我算一下最后结果吗？

追答

楼主自己学习一下吧，仅为了结果是没有办法加深印象的

追问

用盛金公式讨论的话很烦

Answer 3

答：
√(n^3-3n^2-7n+37)是自然数
则n^3-3n^2-7n+37=k^2是完全平方数
n^3-3n^2-7n+37-k^2=0
属于三元一次方程，应用盛金公式可以求解
要求：n是整数，k是自然数即可