Question

当x＞0时，证明：x/1+x²＜arctanx＜x

Answer 1

函数是初等函数，在x=0与x=±1处没有定义，所以，仅有x=0与x=±1这三个间断点。
f(x)=1/x2·arctan[x/(x2-1)]
lim(x→0)f(x)
=lim(x→0)1/x2·x/(x2-1)
=lim(x→0)1/[x·(x2-1)]
=∞
∴x=0是第二类无穷间断点。
lim(x→1-)f(x)
=lim(x→1-)arctan[x/(x2-1)]
=-π/2
lim(x→1+)f(x)
=lim(x→1+)arctan[x/(x2-1)]
=π/2
∴x=1是第一类跳跃间断点。
lim(x→-1-)f(x)
=lim(x→-1-)arctan[x/(x2-1)]
=-π/2
lim(x→-1+)f(x)
=lim(x→-1+)arctan[x/(x2-1)]
=π/2
∴x=-1是第一类跳跃间断点。