Question

伴随矩阵的伴随矩阵和原矩阵有什么关系吗？

Answer 1

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原发布者:xinxinmary521
方阵与其伴随矩阵的关系摘要本文给出了阶方阵的伴随矩阵的定义,讨论了阶方阵与其伴随矩阵之间的关系,例如与之间的关系，并且给出了相应的证明过程e5a48de588b6e799bee5baa6e997aee7ad9431333433623735.关键词矩阵、伴随矩阵、关系、证明在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。1．伴随矩阵的定义.设阶方阵.令,其中是的代数余子式.则称为的伴随矩阵.2．矩阵与其伴随矩阵的关系及其证明.2.1==.当可逆时,有,即[1].证明：因为所以===.当是可逆矩阵时,,所以由上式得==即.证毕.2.2=.(显然)2.3若可逆，则=.(显然)2.4设为阶方阵，则[2].引理1.若矩阵,满足,则.证明因为,所以的列向量是以为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若,则.由克拉默法则知,方程只有零解,从而,进而;若,则方程组的基础解系中含个向量,于是,因此有.证毕.下面证明2.4.当时,的每一个阶代数余子式都为零.所以为零阵,所以.当时，,==.由引理1知,+.因为则,知至少有一个阶子式不为零.即至少有一行不全为零.所以.因为,从而.当时，可逆，由1知，也可逆.所以.证毕.2.5.1当可逆时，.所以.2当不可逆时，，.1)当时，由2.4知.所以.，，.则2)当时，,即，，则.证毕.2.6当可逆时,若为的特征值,则是的特征值.当时，的特征值为零，并是重的.引理2.设可逆,若为的特征值,则是的特征值.证明:若,则由得到,于是,这与可逆矛盾,所以.同时由还有.因此,即是的特征值.引理证毕.下面证明2.6.不妨设的特征值为.则由有.,这说