Question

设a1,a2,……，an(n>=2)是正实数，且满足a1+a2+……+an<1.求证：

Answer 1

设1-(a1+a2+。。。+an)=a(n+1)，那么你要证的就是
a1a
2……an*a(n+1)/((1-a1)(1-a2)……(1-an)(1-a(n+1)))<=1/n^(n+1)
利用均值不等式，(1-a1)/n=a2+a3+……+a(n+1)/n>=（a2a3……a(n+1)）^(1/n)=I^(1/n)/a1^(1/n)。其中I=a1a2……an*a(n+1)
同理可得另外n个不等式。这n+1个不等式相乘，得到
(1-a1)(1-a2)……(1-an)(1-a(n+1))/n^(n+1)>=I^((n+1)/n)/I^(1/n)=I
这就是你
所要证明的

Answer 2

均值不等式

算术平均数≥几何平均数

也就是a2+a3+……+a(n+1)/n>=（a2a3……a(n+1)）^(1/n)

那么(1-a1)/n=a2+a3+……+a(n+1)/n>=（a2a3……a(n+1)）^(1/n)=i^(1/n)/a1^(1/n)其中i=a1a2……an*a(n+1)

同理可得另外n个不等式

(1-a2)/n=a1+a3+……+a(n+1)/n>=（a1a3……a(n+1)）^(1/n)=i^(1/n)/a2^(1/n)

(1-a3)/n=a1+a2+……+a(n+1)/n>=（a1a2……a(n+1)）^(1/n)=i^(1/n)/a3^(1/n)

...............

这n+1个不等式相乘，得到

(1-a1)(1-a2)……(1-an)(1-a(n+1))/n^(n+1)>=i^((n+1)/n)/i^(1/n)=i=a1a2……an*a(n+1)
所以
1/n^(n+1)>=a1a2……an*a(n+1)/(1-a1)(1-a2)……(1-an)(1-a(n+1))

所以

a1a2……an*(1-(a1+a2+……+an))/((a1+a2+……+an)(1-a1)(1-a2)……(1-an))<=1/(n^(n+1)

得证！！