高二数学难题1（双曲线）
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解:右焦点F(2,0),设直线方程为y=k(x-2)(假设k存在)
代入有x^2-(k^2)×(x-2)^2=2
整理得(1-k^2)x^2+(4k^2)x-4k^2-2=0
与双曲线交于A，B两点得:
(1)k^2≠1,k≠±1;
(2)Δ=16k^4+4(1-k^2)(4k^2+2)>0
2k^4+(1-k^2)(2k^2+1)=1+k^2>0恒成立
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),得:
(向量)CM
=
(向量)CA
+
(向量)CB
+
(向量)CO
即(x-1,y)=((x1-1)+(x2-1)-1,y1+y2)
得x=(x1+x2)-2
y=y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k[(x1+x2)-4]
由韦达定理得:x1+x2=4k^2/(k^2-1)
则x=2(k^2+1)/(k^2-1)
y=4/(k^2-1)
(k≠±1)
消参得x-y-2=0(挖去(2,0)点)
代入有x^2-(k^2)×(x-2)^2=2
整理得(1-k^2)x^2+(4k^2)x-4k^2-2=0
与双曲线交于A，B两点得:
(1)k^2≠1,k≠±1;
(2)Δ=16k^4+4(1-k^2)(4k^2+2)>0
2k^4+(1-k^2)(2k^2+1)=1+k^2>0恒成立
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),得:
(向量)CM
=
(向量)CA
+
(向量)CB
+
(向量)CO
即(x-1,y)=((x1-1)+(x2-1)-1,y1+y2)
得x=(x1+x2)-2
y=y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k[(x1+x2)-4]
由韦达定理得:x1+x2=4k^2/(k^2-1)
则x=2(k^2+1)/(k^2-1)
y=4/(k^2-1)
(k≠±1)
消参得x-y-2=0(挖去(2,0)点)
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