Question

求f(x)=sinx/根号下(5+4cosx)的值域。写出过程。

Answer 1

首先这是一个连续可导函数，通过求出边界值以及极值，可求得值域
求导
f'(x)
=
cosx/根号(5+4cosx)
+
2(sinx)^2/(5+4cosx)^(3/2)
=
[cosx
(5+4cosx)
+
2(sinx)^2]/(5+4cosx)^(3/2)
=
[2(cosx)^2
+
5cosx
+
2]/(5+4cosx)^(3/2)
=
(2cosx
+
1)(cosx
+
2)/(5+4cosx)^(3/2)
所以
当
2cosx
+
1
=
0
即
cosx
=
-1/2
时
f'(x)
=
0
cosx
=
-1/2
对应
x
=
120
度
sinx
=
√3
/2
以及
x
=
240
度
sinx
=
-√3/2
在
x
=
120
度时
f(x)
=
(√3
/2)/√(5
-
4
*1/2)
=
1/2
在
x
=
240度时
f(x)
=
-1/2
而在边界处
f(0)
=
f(360度)
=
0
在
[0<=x<=2π]
上，
f(x)
是连续函数。结合边界取值以及极值情况可以知道
f(x)
在
[0,
120]
单调递增，
在
[120,
240]
单调递减，在[240,360]单调递增。
综上所述，
值域为
[-1/2,
1/2]