Question

设∑为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分的上侧，则曲面积分∫∫(x+y)dzdx=？

设∑为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分的上侧，则曲面积分∫∫(x+y)dzdx=？为什么答案不是1/2？（∫∫(x+1-x-z)dzdx=∫∫(1-z)dzdx=1/2）

Answer 1

等于1/3。

可以直接在XOZ平面上做：y = 0, z = 1-x

∫∫(x+y)dzdx

= ∫[0,1]dx ∫[0,1-x] (1-z)dz

= ∫[0,1] (1/2)(1-x^2) dx

= 1/3

扩展资料：

一型曲面积分共有三种计算方法，且不需考虑正负的问题。以直角计算为主，奇偶性、对称性为辅助。

（一）直接计算法——直角坐标下

因为是在曲面上进行积分，所以曲面方程Z=Z(x, y)可以直接带入方程中。带入后消去了z，曲面积分转变成了在D（曲面在xoy上的投影）上的二重积分。

由于  

 故积分表达式可化为 

 能把曲线/曲面方程带入积分函数计算的只有两种：曲线积分、曲面积分。

不能代入计算的是：重积分

（二）利用奇偶性

被积函数若是关于x的奇函数，且积分曲面关于yoz前后对称，那么该积分等于0；

若被积函数若是关于x的偶函数，且积分曲面关于yoz前后对称，那么该积分等于二倍的对yoz前边曲面上的积分。

若对于y、z也有奇偶性，同理。

（三）利用对称性（轮换性）

若积分曲面x，y，z位置可以对调，积分函数内x，y，z也可以互换，最后积分结果不变。

Answer 2

如图所示：

Answer 3

可以直接在XOZ平面上做：y = 0, z = 1-x
∫∫(x+y)dzdx
= ∫[0,1]dx ∫[0,1-x] (1-z)dz
= ∫[0,1] (1/2)(1-x^2) dx
= 1/3

追问

谢谢谢谢！！真正地解答了我的疑问！我还以为这个方法不可以的……原来是我二重积分的上下限弄错了（都当成了[0,1]，其实是[0,1]和[0,1-x]）；这个问题我犯好多次了……感谢！