求一阶线性微分方程在考试时能直接用公式求吗?

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应曼丽湛峻
2019-05-13 · TA获得超过3万个赞
知道大有可为答主
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所以看过高数书的人总是觉得“常数变易法”来的那么凶那么直接,那么神奇。对于一阶线性微分方程
y'+py=q以前我一直在考虑常数变易法的实质是什么,我觉它就是个特殊的变量代换法。在解齐次方程时用y=ux代换,而这里是y=ue^;一般地代换y=uv,v为x的确定函数。u是x的未知函数,那么u乘以v可以表示任意的x的函数。这是我想到的变量代换的理由。选一个适当的v,就能使方程化成变量可分离的。这个e^是怎么选定的,反向过了看,把e^带入后,得到y'e^-upe^+upe^=q,刚好后两项相互抵消,就可分离了变量了。也就是说当时人们想找一个能使后两项和为零的v,其实这个问题就是解y'+py=0,刚好就是求对应的齐次方程的解。常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法。它是拉格朗日十一年的研究成果,我们所用仅是他的结论,并无过程.
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