Question

已知函数f(x)=x^2+ax+b,当实数p,q满足p+q=1,试证明pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)

Answer 1

想要证明pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)，只需证明[pf(x)+qf(y)]-f(px+qy)>=0即可
pf(x)+qf(y)=px^2+apx+pb+qy^2+aqy+qb……(1)
f(px+qy)=(px+qy)^2+a(px+qy)+b=p^2*x^2+q^2*y^2+2pqxy+apx+aqy+b……(2)
(1)-(2)=(p-p^2)x^2+(q-q^2)y^2-2pqxy+pb+qb-b=p(1-p)x^2+q(1-q)y^2-2pqxy+(p+q-1)b
将p+q=1代人，上式=pqx^2+pqy^2-2pqxy=pq(x-y)^2>=0,即[pf(x)+qf(y)]-f(px+qy)>=0，所以pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)