Question

已知函数f(x)=√sinx+√cosx,(0<=x<=π/2),则f(x)的值域为

Answer 1

用求导数可解：
f'(x)=cosx/2√sinx-sinx/2√cosx=[(cosx)^(3/2)-(sinx)^(3/2)]/2√(sinxcosx)。
显然sinxcosx≥0。而[(cosx)^(3/2)-(sinx)^(3/2)]在0<x<π/4时，大于0，即此时f'(x)>0，f(x)在此区间单调递增。而f'(π/4)=0。
在π/4<x<90°时，f'(x)<0。f(x)在此区间单调递减。
则可知：在0≤x≤π/2上f(x)有极大值f(π/4)，2个极小值f(0)与f(π/2)。则有：
f(π/4)=√(2√2)。而f(0)=1,f(π/2)=1。
故函数f(x)的值域为：[1,√(2√2)]。

Answer 2

f^2(x)=sinx+cosx+2√cosx*√sinx=√2/2sin(x+45)+√2sin2x
当X=π/4,f^2(x)取得最大值3√2/2，即f（x）取得最大值
当X=0或者π/2f^2(x)取得最小值1/2,即f（x）取得最小值