Question

高中数学最值问题

Answer 1

化简S=1+[(ba)^2-ba]\[(1+b)(1+a)]
令x=1+a
S(x)=1+1\(1+b)*[b^2x+(b^2+b)\x-2b^2-b]

(1)考虑y=b^2x+(b^2+b)\x
x=[(b+1)\b]^(1\2)取最小值
又1≤x≤2
，x0=
[(b+1)\b]^(1\2)>1

当x0≤2
b≥1\3
x=x0时取最小值
即1+a=[(b+1)\b]^(1\2)
由对称知1+b=[(a+1)\a]^(1\2)
时取最小值，此时的条件是
a≥1\3
解之：

a=b=[5^(1\2)-1]\2>1\3
且[5^(1\2)-1]\2<1
因此满足条件
则Smin=[13-5*5^(1\2)]\2

当x0>2
b
<1\3
x=2时取最小值
S=1+1\(1+b)*(b^2-b)\2
b=2^(1\2)-1取最小值

Smin'=2^(1\2)-1\2>[13-5*5^(1\2)]\2
因此a=b=[5^(1\2)-1]时Smin=[13-5*5^(1\2)]\2

(2)x=1或2时取最大值
S(1)=1
S(2)=1+1\(1+b)*(b^2-b)\2≤1
所以
a=0,b∈[0,1]
或
b=0,a∈[0,1]
时最大值Smax=1