Question

设x,y是正实数,且x+y=1,则x2/x+2 +y2/y+1的最小值

Answer 1

因为x，y是正实数，所以x^2=1-y^2>0
的0<y<1，有y^2<y,
同理0<x<1，x^2<x,
得到x+y<2,1/(x+y)>1/2
x^2+y<x+y,1/(x^2+y）>1/(x+y)
(x+y^2)<x+y,1/(x+y^2)>1/(x+y)
1/（x^2+y）+1/(x+y^2)>2/(x+y)>1
所以正实数x，y满足x^2+y^2=1,则1/（x^2+y）+1/(x+y^2)的最小值为1

Answer 2

x²/(x+2)+y²/(y+1)
=(x²-4+4)/(x+2)+(y²-1+1/(y+1)
=x-2+y-1+4/(x+2)+1/(y+1)
把x+y=1带入有
=4/(x+2)+1/(2-x)-2
=(10-3x)/(4-x²)-2
设h(x)=(10-3x)/(4-x²)，对函数
求导
得：h
'(x)=(-3x²+20x-12)/(4-x²)²。
可得当x=2/3时导数为零，(0，2/3)为单调减区间，(2/3，1)为单调增区间。
所以x=2/3时，h(x)取最小值，此时x²/(x+2)+y²/(y+1)也为最小值。
计算可得min=1/4。▅