Question

有关于微积分中全微分的问题

Answer 1

微分的本质是：在一点的局部用一个线性函数逼近，逼近的误差是自变量增量的高阶无穷小。
具体地说，如果一个函数f(x)，x取值为欧几里得空间里的点。固定一个点x0，然后x-x0
就表示自变量从x0到x的变化量。x-x0是一个向量。我们希望能弄一个线性函数T，使得
T(x-x0)能用来逼近函数的变化量
f(x)-f(x0)。逼近的误差就是
f(x)-f(x0)
-
T(x-x0)，我们希望这个误差是比|x-x0|的模长高阶的无穷小。于是就有了
f(x)-f(x0)=T(x-x0)+o(x-x0)
的定义。
这是微分的定义。而T这个线性函数就被称为f在x0处的导数。
当函数f(x)的值域是一维，x的维数是n维的时候（如果我把分量设为x=(a1,a2,...,an),
x0=(b1,b2,...bn)
线性函数T就应该是
T(x-x0)=
k1(a1-b1)+k2(a2-b2)+...kn(an-bn)
k1,...,kn都是由x0和f决定的常数。
我们把k1,k2,...,kn分别称为f对x的第1个分量、对x的第2个分量、。。。、对x的第n个分量的
“偏导数”。都是实数。
偏导数的符号就用你说的那个没弄懂的那个符号表示。
此外，当自变量的取值范围也是一维的，也就是x和x0是实数里取的时候。
线性函数
T(x-x0)其实就是
k(x-x0)
k是某个由f和x0决定的常数。此时导数可以用一个数k来表示。而不再是一串数(k1,...,kn)表示的线性函数了。所以一元函数没必要用偏导数符号，因为一元函数的导数本身作为线性函数按照上面的思想就只有一个分量，就是一个数就能表示了。

Answer 2

你需要注意,偏导数和微分是不同的
(偏z/偏x)和(dz/dx)只是看起来像
它们有一个最大的不同就是,(dz/dx)中的dz和dx分开也是有意义的
但是(偏z/偏x)如果分开就没有意义了
对z=z(x,y)
dz=(偏z/偏x)dx+(偏z/偏y)dy
所以求偏导数有两个基本方法
一是把y当常数，把z看成z(x,y0)=z(x)
这样做的结果是上式中的dy=0，此时有dz=(偏z/偏x)dx，即dz/dx=(偏z/偏x)
所以用一元函数求导的方法就可以求出偏导数
(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)
第二种方法是完整求出z的全微分，用比较系数法，其中dx的系数就是(偏z/偏x)
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)
显然dx的系数为(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)
如果想求dz/dx，就要继续把dy化成dx将dy=ydx代入上式
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)=(ydx+xydx)/(1+x^2y^2)=y(1+x)dx/(1+x^2y^2)
所以dz/dx=y(1+x)/(1+x^2y^2)
为了方便起见我没有把y=e^x代入结果，如果是题目直接问的一般要换，否则不用
对第二道题，由于u没有具体的表达式，所以没有办法用上述的第一种方法来算，只能用第二种方法