Question

如图，P为等边三角形ABC任意一点 连接PAPBPC 求证 （1）PA+PB+PC＞2分之三AB。

Answer 1

过p点作bc边的平行线ef，分别交ab、ac于e、f
．
∵δabc为等边三角形，
∴∠afe＝∠abc＝60°，
又∵∠ape＞∠afe，∴∠ape＞60°．
在δaep中，∵∠ape＞∠aep，∴ae＞ap．
∵δaef为等边三角形，∴ae＝ef＝af．
∵ae＞ap，be＋ep＞bp，pf＋fc＞pc，
∴ae＋(eb＋ep)＋(pf＋fc)＞ap＋pb＋pc，
即ab＋ef＋fc＞pa＋pb＋pc，
∴pa＋pb＋pc＜ab＋ac＝2ab=2
这题可以引伸一个很著名的定理:
p是任意三角形abc内一点,则当∠apb=∠bpc=∠apc=120`时pa+pb+pc达到最小值.
我简单证明一下:
将三角形apc绕c点顺时针旋转60`的三角形a'p'c
因为
∠pcp'=60`,pc=p'c
所以
pp'c为等边三角形
,
pc=p'c=pp'
又
∠bpc+∠p'pc=180`=∠p'pc+∠cp'a'
所以
b,p,p',a,共线
于是
ba'=pb+pa+pc在此时达到最小值
回到此题,问题中的正三角形是让你计算l(min)
当p是正三角形重心时(三线合一)l=pa+pb+pc最小
易求此时l=根号3
故根号3≤l