Question

设函数f(x)=-13x3+2ax2-3a2x+b，0

设函数f(x)=-13x3+2ax2-3a2x+b，0＜a＜1. (1)求函数f(x)的单调区间、极值; (2)若x∈[0，3a]，试求函数f(x)的最值.

Answer 1

解答:解:(1)f′(x)=-x2+4ax-3a2.令f′(x)=0，解得x=a或x=3a，列表:
x
(-∞，a)
a
(a，3a)
3a
(3a，+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
递减
-
4
3
a3+b
递增
b
递减
由表可知:当x∈(-∞，a)时，函数f(x)为减函数;当x∈(3a，+∞)时，函数f(x)也为减函数;当x∈(a，3a)时，函数f(x)为增函数.
∴函数f(x)的单调减区间为(-∞，a)，(3a，+∞)，单调增区间为(a，3a).当x=a时，f(x)的极小值为-
4
3
a3+b;当x=3a时，f(x)的极大值为b.
(2)x∈[0，3a]，列表如下:
x
0
(0，a)
a
(a，3a)
3a
f′(x)
-
0
+
0
f(x)
b
递减
-
4
3
a3+b
递增
b
由表知:当x∈(0，a)时，函数f(x)为减函数;当x∈(a，3a)时，函数f(x)为增函数.
∴当x=a时，f(x)的最小值为-
4
3
a3+b;当x=0或x=3a时，f(x)的最大值为b.