Question

柯西不等式.已知2X+5Y=20,求XY的最大值

Answer 1

其实上,这中题目是有定理的（总共有3个）：
1.ax+by=c(a,b≠0).如果a,b有公约数d,而c也有公约数d,这个方程有整数解；如果a,b有公约数d,而c没有公约数d,则这个方程没有整数解.
（这个方程2X+5Y=20,就属于第一种情况：有整数解）
2.若{x=x0,y=y0（这里x0和y0都是一个有理数）是方程ax+by=c（ab互质）的一组整数解,则此方程的所有整数解为：
{x=x0-bt,y=y0+at（t为整数）
3.如果ax+by=c,a>0,b>0,c>0,而a+b>c,则此方程无解.
这就是3个定理,我们可以从2中得到答案.
先假设x的值为5,则y=2
把这个解带进那个式子：“{x=x0-bt,y=y0+at（t为整数）”中,可以得到一些
x=5-5t,y=2+2t
当t=1时,
x=0,y=4(这是一组新的解）
上面的解为：x=5,y=2
因此,xy的最大值为20