Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足f(x+2)=-f(x),当x属于[-2,0]时,f(x)=2x+x^2

(1)求证f(x)是周期函数
(2)当x属于[2,4]时,求f(x)的解析式
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+.............+f(2009)

Answer 1

1.对任意实数x恒满足f(x+2)=-f(x),
则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
所以f(x)是以T=4为周期的周期函数

2.
令2<=x<=4 ,-2<=x-4<=0
而f(x+4)=f(x) ,f(x)=f(x-4)
又x属于[-2,0]时,f(x)=2x+x^2
所以x属于[2,4]时,f(x)=2(x-4)+(x-4)^2

3.令0<t<2 ,那么-2<-t<0
又x属于[-2,0]时,f(x)=2x+x^2
所以f(-t)=2(-t)+t^2=t^2-2t=-f(t)
f(t)=-t^2+2t
也就是在区间[0,2] f(x)=-x^2+2x
由奇函数的性质f(0)=0
f(1)=-1+2=1
f(2)=-4+4=0
f(3)=-1
f(4)=0
所以在一个周期内f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+0-1+0=0
f(0)+f(1)+f(2)+.............+f(2009)
=0+0+0+...+f(2009) (每个周期之和为0)
=f(2009)
=f(2008+1)
=f(1)=1