Question

一道集合和函数的证明题

设M={a/a=x^2-y^2,x,y∈R} 求证:(1)一切奇数属于M (2)偶数4k-2(k∈R)不属于M (3)属于M的两个整数,其积仍属于M.

Answer 1

我想题目中的R应该为N或Z吧
解答如下：
(1)设任意奇数a=2n+1
则a=(n+1)^2-n^2
故所有奇数属于M
(2)对任意a属于M
a=(x+y)(x-y)
若x
y同奇偶，则2|x+y,2|x-y，故4|a
若x
y不同奇偶，x+y奇,x-y奇，故a奇
故a不是奇数就是4的倍数，4k-2不属于M
(3)设a=x^2-y^2,b=z^2-w^2,则ab=(x^2-y^2)(z^2-w^2)=(xz+yw)^2-(xw+yz)^2
故ab属于M